Dropbox não realiza a sincronização e não abre a tela de login do aplicativo.

Olá Hallyson Henrique, 

Agradecemos por postar na comunidade Dropbox! 

Há duas razões prováveis para falhas ao iniciar o aplicativo Dropbox no computador.

Conflitos de software de segurança/antivírus. 

Muitas vezes, seu antivírus ou software de segurança do computador impede que o Dropbox conclua o processo de instalação ou de inicialização. Para conferir se esse é o problema, siga estas instruções:

1. Desabilite temporariamente todos os programas de segurança ou antivírus do computador.
2. Reinstale o aplicativo do Dropbox.

Problemas de conexão.
Problemas de conexão com a internet podem resultar em problemas durante a instalação. Se você estiver com dificuldades para instalar, use este link para fazer o download: Windows

Este link é para um "instalador off-line" do Dropbox, que permite a instalação do aplicativo do Dropbox no computador sem ter conexão com a internet. Muitas vezes, usar o instalador off-line evita os problemas comuns à instalação do arquivo de instalação comum (online). 

Espero que ajude a resolver o problema!