Olá, pccantocoral!
O acesso aos arquivos do Dropbox não é modificado após ter atingido o espaço limite. Apenas a sincronização deixa de ocorrer, ou seja, você não consegue enviar novos arquivos para a nuvem, mas seus arquivos não são removidos e você pode baixá-los normalmente. A sincronização é retomada quando sua conta estiver dentro da cota novamente.
https://www.dropbox.com/help/space/over-storage-limit
Caso você tenha tentado acessar pelo navegador, é possível que o problema de não estar conseguindo baixar os arquivos seja causado por alguma extensão. Tente desativar as extensões para resolver o problema. Em determinadas atualizações de plugins de terceiros ou do próprio navegador problemas desse tipo podem ocorrer.
Se você tiver algum antivírus ou outros aplicativos de segurança em execução, desativá-los temporariamente enquanto você instala o programa também é recomendável.
Espero ter ajudado!